Pode sim, desde que a árvore estivesse no terreno de propriedade ou sob posse da empresa, pois o dono da coisa (no caso a árvore) responde pelos danos por ela causados, com base no art. 186 do Código Civil:

Art. 186. Aquele que, por ação ou omissão voluntária, negligência ou imprudência, violar direito e causar dano a outrem, ainda que exclusivamente moral, comete ato ilícito.

Veja julgados em casos similares abaixo:

0160715-91.2012.8.19.0001 – APELAÇÃO –  DES. ROGERIO DE OLIVEIRA SOUZA – Julgamento: 30/04/2013 – NONA CÂMARA CIVEL. DIREITO CIVIL. RESPONSABILIDADE CIVIL. DIREITO DE VIZINHANÇA. QUEDA DE ÁRVORE. DANO NO IMÓVEL VIZINHO. OBRIGAÇÃO DE REPARAR OS DANOS. DANO MORAL CONFIGURADO. A queda de árvore em péssimo estado de conservação é fato previsível. Responsabilidade civil. Obrigação de reparar os danos causados pela queda. Abuso do direito de propriedade. Dano moral que decorre do próprio fato. Valor arbitrado que atende as finalidades do instituto, além de pautar-se pelo princípio da razoabilidade. Manutenção da sentença. Conhecimento e desprovimento do recurso.

0380292-76.2009.8.19.0001 – APELAÇÃO – DES. SEBASTIAO BOLELLI – Julgamento: 06/03/2013 – TERCEIRA CAMARA CIVEL – AGRAVO INTERNO EM APELAÇÃO CÍVEL. Indenizatória. Alegação de dano material em razão de queda de galho de árvore em veículo. Comprovação dos fatos alegados. Responsabilidade do Município por omissão específica. A delegação do serviço à COMLURB não exime o Ente Público do dever de fiscalização, manutenção e conservação do logradouro público. Precedente. Manutenção da sentença. Ausência de argumento capaz de infirmar a Decisão Monocrática. RECURSO DESPROVIDO.

Veja também esta decisão sobre danos causados por queda de árvore.

A exceção é a ocorrência de força maior  (como uma tempestade, p. ex.) ou fato de terceiro, que tenham dado causa à queda. Neste caso, não  há responsabilidade, pois não se pode atribuir ao proprietário do terreno onde estava a árvora a culpa pela queda. 

Outras respostas que podem interessar: