Via de regra, quando o novo processo é distribuído, recebe o número no mesmo momento da distribuição (que é o ato de entregar a petição no fórum para ser sorteada a vara em que tramitará). 

Uma forma de verificar se foi efetivamente distribuído o processo em seu nome é consultar por seu nome, CPF, ou dados da outra parte, ou dados do advogado no seguinte link:

Pesquisa on-line do número e andamento dos processos no Rio de Janeiro.

Todos os tribunais dispõem de consulta on-line aos processos.

De qualquer forma, o advogado tem o dever de lhe manter atualizado acerca do processo. Caso haja recusa ou esquiva dessa obrigação, pode ser feita pesquisa junto aos órgãos distribuidores e reclamação junto à Ordem dos Advogados do Brasil, na seção de sua cidade. O que, dependendo das consequências processuais, pode gerar dever de indenizar para o advogado ao cliente.

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